№ 33 ВПР 3 Геометрія = № 33 ВПТ 5 Математика
Сторона квадрата дорівнює $a$. Знайдіть радіус кола, що проходить через вершину квадрата, середину сторони, що не містить цієї вершини, і точку перетину діагоналей квадрата.
Розв’язок:
У квадрата $ABCD$: $AB=a$. $O$ — точка перетину діагоналей, $K$ — середина $AD$.
Коло проходить через точки $B$, $O$, $K$.
$\angle BOK=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$.
За теоремою Піфагора у $\bigtriangleup BAK$:
$BK=\sqrt{BA^{2}+AK^{2}}=$
$=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$
За теоремою синусів у $\bigtriangleup BOK$:
$\frac{BK}{sin\angle BOK}=2R$
$R=\frac{BK}{2sin\angle BOK}=$
$=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2\sin 135^{\circ}}=\frac{a\sqrt{5}}{4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=$
$=\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}$
Відповідь:
$\frac{a\sqrt{10}}{4}$.