№ 34 ВПР 3 Геометрія = № 34 ВПТ 5 Математика
Розв’яжіть трикутник $ABC$, якщо:
1) $BC=3$ см, $AB=4$ см, $\angle B=58^{\circ}$;
2) $AB=7$ см, $AC=8$ см, $\angle A=139^{\circ}$;
3) $BC=4$ см, $\angle B=48^{\circ}$, $\angle C=115^{\circ}$;
4) $AB=10$ см, $\angle A=9^{\circ}$, $\angle C=97^{\circ}$;
5) $AB=5$ см, $BC=8$ см, $AC=7$ см;
6) $AB=3$ см, $BC=4$ см, $AC=6$ см.
Невідомі сторони знайдіть із точністю до сотих сантиметра, а невідомі кути — із точністю до мінути (у разі використання калькулятора) або з точністю до градуса (у разі використання таблиць).
Розв’язок:
1) За теоремою косинусів:
$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2\cdot BC\cdot AB\cdot\cos\angle B=3^{2}+4^{2}-2\cdot3\cdot4\cdot\cos 58^{\circ}\approx12{,}28$;
$AC\approx3{,}50$ (см).
$\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}\approx\frac{4^{2}+3{,}50^{2}-3^{2}}{2\cdot4\cdot3{,}50}\approx0{,}6875$;
$\angle A\approx46^{\circ}34'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(58^{\circ}+46^{\circ}34')=75^{\circ}26'$.
2) За теоремою косинусів:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle A=7^{2}+8^{2}-2\cdot7\cdot8\cdot\cos 139^{\circ}\approx197{,}53$;
$BC\approx14{,}05$ (см).
$\cos\angle C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2\cdot AC\cdot BC}\approx\frac{8^{2}+14{,}05^{2}-7^{2}}{2\cdot8\cdot14{,}05}\approx0{,}9449$;
$\angle C\approx19^{\circ}07'$;
$\angle B\approx180^{\circ}-(139^{\circ}+19^{\circ}07')=21^{\circ}53'$.
3) $\angle A=180^{\circ}-(48^{\circ}+115^{\circ})=17^{\circ}$.
$AB=\frac{BC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle A}=\frac{4\cdot\sin 115^{\circ}}{\sin 17^{\circ}}\approx12{,}40$ (см);
$AC=\frac{BC\cdot\sin\angle B}{\sin\angle A}=\frac{4\cdot\sin 48^{\circ}}{\sin 17^{\circ}}\approx10{,}17$ (см).
4) $\angle B=180^{\circ}-(9^{\circ}+97^{\circ})=74^{\circ}$.
$BC=\frac{AB\cdot\sin\angle A}{\sin\angle C}=\frac{10\cdot\sin 9^{\circ}}{\sin 97^{\circ}}\approx1{,}58$ (см);
$AC=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{\sin\angle C}=\frac{10\cdot\sin 74^{\circ}}{\sin 97^{\circ}}\approx9{,}68$ (см).
5) $\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{5^{2}+7^{2}-8^{2}}{2\cdot5\cdot7}\approx0{,}1429$; $\angle A\approx81^{\circ}47'$;
$\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{5^{2}+8^{2}-7^{2}}{2\cdot5\cdot8}\approx0{,}5000$; $\angle B\approx60^{\circ}$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(81^{\circ}47'+60^{\circ})=38^{\circ}13'$.
6) $\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{3^{2}+6^{2}-4^{2}}{2\cdot3\cdot6}\approx0{,}8056$; $\angle A\approx36^{\circ}20'$;
$\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{3^{2}+4^{2}-6^{2}}{2\cdot3\cdot4}\approx-0{,}4583$; $\angle B\approx117^{\circ}17'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(36^{\circ}20'+117^{\circ}17')=26^{\circ}23'$.
Відповідь:
1) $AC\approx3{,}50$ см, $\angle A\approx46^{\circ}34'$, $\angle C\approx75^{\circ}26'$;
2) $BC\approx14{,}05$ см, $\angle C\approx19^{\circ}07'$, $\angle B\approx21^{\circ}53'$;
3) $\angle A=17^{\circ}$, $AB\approx12{,}40$ см, $AC\approx10{,}17$ см;
4) $\angle B=74^{\circ}$, $BC\approx1{,}58$ см, $AC\approx9{,}68$ см;
5) $\angle A\approx81^{\circ}47'$, $\angle B\approx60^{\circ}$, $\angle C\approx38^{\circ}13'$;
6) $\angle A\approx36^{\circ}20'$, $\angle B\approx117^{\circ}17'$, $\angle C\approx26^{\circ}23'$.