№ 36 ВПР 3 Геометрія = № 36 ВПТ 5 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$, якщо:
1) $AB=7$ см, $AC=8$ см, $\angle B=50^{\circ}$;
2) $AB=4$ см, $BC=5$ см, $\angle A=110^{\circ}$;
3) $BC=2$ см, $AC=4$ см, $\angle A=35^{\circ}$;
4) $AB=7$ см, $BC=8$ см, $\angle C=60^{\circ}$.
Невідомі сторони знайдіть із точністю до сотих сантиметра, а невідомі кути — із точністю до хвилини (у разі використання калькулятора) або з точністю до градуса (у разі використання таблиць).
Розв’язок:
1) $AB=7$ см, $AC=8$ см, $\angle B=50^{\circ}$.
$\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$sin\angle C=\frac{AB\cdot sin\angle B}{AC}=\frac{7\cdot sin50^{\circ}}{8}=$
$=\frac{7\cdot0{,}766}{8}\approx0{,}6703$; $\angle C\approx42^{\circ}$.
$\angle A=180^{\circ}-(\angle B+\angle C)=$
$=180^{\circ}-(42^{\circ}+50^{\circ})=88^{\circ}$.
$\frac{BC}{sin\angle A}=\frac{AC}{sin\angle B}$
$BC=\frac{AC\cdot sin\angle A}{sin\angle B}=\frac{8\cdot sin88^{\circ}}{\sin 50^{\circ}}=$
$=\frac{8\cdot0{,}9994}{0{,}766}\approx10{,}4$ (см).
2) $AB=4$ см, $BC=5$ см, $\angle A=110^{\circ}$.
$\frac{BC}{sin\angle A}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$sin\angle C=\frac{AB\cdot sin\angle A}{BC}=\frac{4\cdot sin110^{\circ}}{5}=$
$=\frac{4\cdot0{,}9397}{5}\approx0{,}7518$; $\angle C\approx48^{\circ}$.
$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=$
$=180^{\circ}-(110^{\circ}+48^{\circ})=22^{\circ}$.
$\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{BC}{sin\angle A}$
$AC=\frac{BC\cdot sin\angle B}{sin\angle A}=\frac{5\cdot sin22^{\circ}}{\sin 110^{\circ}}=$
$=\frac{5\cdot0{,}3746}{0{,}9397}\approx2$ (см).
3) $BC=2$ см, $AC=4$ см, $\angle A=35^{\circ}$.
$\frac{BC}{sin\angle A}=\frac{AC}{sin\angle B}$
$sin\angle B=\frac{AC\cdot sin\angle A}{BC}=\frac{4\cdot sin35^{\circ}}{2}=$
$=\frac{4\cdot0{,}5736}{2}\approx1{,}1472$; такого бути не може.
Отже, трикутника з такими даними не існує.
4) $AB=7$ см, $BC=8$ см, $\angle C=60^{\circ}$.
$\frac{AB}{sin\angle C}=\frac{BC}{sin\angle A}$
$sin\angle A=\frac{BC\cdot sin\angle C}{AB}=\frac{8\cdot sin60^{\circ}}{7}=$
$=\frac{8\cdot0{,}866}{7}\approx0{,}9897$; $\angle A\approx82^{\circ}$.
$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=$
$=180^{\circ}-(82^{\circ}+60^{\circ})=38^{\circ}$.
$\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$AC=\frac{AB\cdot sin\angle B}{sin\angle C}=\frac{7\cdot sin38^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=$
$=\frac{7\cdot0{,}6157}{0{,}866}\approx5$ (см).
Оскільки $BC>AB$, кут $\angle A$ може бути також тупим, тому задача має два розв’язки. Розглянемо другий випадок:
$\angle A\approx180^{\circ}-82^{\circ}=98^{\circ}$.
$\angle B=180^{\circ}-(98^{\circ}+60^{\circ})=22^{\circ}$.
$AC=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{\sin\angle C}=$
$=\frac{7\cdot\sin 22^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{7\cdot0{,}3746}{0{,}866}\approx3$ (см).