№ 36 ВПР 3 Геометрія = № 36 ВПТ 5 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$, якщо:
1) $AB=7$ см, $AC=8$ см, $\angle B=50^{\circ}$;
2) $AB=4$ см, $BC=5$ см, $\angle A=110^{\circ}$;
3) $BC=2$ см, $AC=4$ см, $\angle A=35^{\circ}$;
4) $AB=7$ см, $BC=8$ см, $\angle C=60^{\circ}$.
Невідомі сторони знайдіть із точністю до сотих сантиметра, а невідомі кути — із точністю до мінути (у разі використання калькулятора) або з точністю до градуса (у разі використання таблиць).
Розв’язок:
1) За теоремою синусів $\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle C}$, звідси
$\sin\angle C=\frac{7\cdot\sin 50^{\circ}}{8}\approx0{,}6703$.
Кут $C$ гострий, бо $AB<AC$. Отже, $\angle C\approx42^{\circ}05'$;
$\angle A\approx180^{\circ}-(50^{\circ}+42^{\circ}05')=87^{\circ}55'$;
$BC=\frac{AC\cdot\sin\angle A}{\sin\angle B}\approx\frac{8\cdot\sin 87^{\circ}55'}{\sin 50^{\circ}}\approx10{,}44$ (см).
2) За теоремою синусів $\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AB}{\sin\angle C}$, звідси
$\sin\angle C=\frac{4\cdot\sin 110^{\circ}}{5}\approx0{,}7518$.
Кут $C$ гострий, бо кут $A$ тупий. Отже, $\angle C\approx48^{\circ}45'$;
$\angle B\approx180^{\circ}-(110^{\circ}+48^{\circ}45')=21^{\circ}15'$;
$AC=\frac{BC\cdot\sin\angle B}{\sin\angle A}\approx\frac{5\cdot\sin 21^{\circ}15'}{\sin 110^{\circ}}\approx1{,}93$ (см).
3) За теоремою синусів $\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{4\cdot\sin 35^{\circ}}{2}\approx1{,}1472>1$, чого бути не може.
Трикутника з такими даними не існує.
4) За теоремою синусів $\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{BC}{\sin\angle A}$, звідси
$\sin\angle A=\frac{8\cdot\sin 60^{\circ}}{7}\approx0{,}9897$.
Оскільки $BC>AB$, то $\angle A>\angle C=60^{\circ}$, і обидва значення кута $A$ можливі: $\angle A\approx81^{\circ}47'$ або $\angle A\approx98^{\circ}13'$.
1-й випадок: $\angle B\approx180^{\circ}-(60^{\circ}+81^{\circ}47')=38^{\circ}13'$; $AC=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{\sin\angle C}\approx\frac{7\cdot\sin 38^{\circ}13'}{\sin 60^{\circ}}\approx5{,}00$ (см).
2-й випадок: $\angle B\approx180^{\circ}-(60^{\circ}+98^{\circ}13')=21^{\circ}47'$; $AC=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{\sin\angle C}\approx\frac{7\cdot\sin 21^{\circ}47'}{\sin 60^{\circ}}\approx3{,}00$ (см).
Відповідь:
1) $\angle C\approx42^{\circ}05'$, $\angle A\approx87^{\circ}55'$, $BC\approx10{,}44$ см;
2) $\angle C\approx48^{\circ}45'$, $\angle B\approx21^{\circ}15'$, $AC\approx1{,}93$ см;
3) трикутника не існує;
4) $\angle A\approx81^{\circ}47'$, $\angle B\approx38^{\circ}13'$, $AC\approx5{,}00$ см або $\angle A\approx98^{\circ}13'$, $\angle B\approx21^{\circ}47'$, $AC\approx3{,}00$ см.