№ 37 ВПР 3 Геометрія = № 37 ВПТ 5 Математика
Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює $10$ см. Кут між діагоналлю трапеції та бічною стороною дорівнює $60^{\circ}$, а між діагоналлю та основою — $40^{\circ}$. Знайдіть основи трапеції та її діагональ.
Розв’язок:
У трапеції $ABCD$ ($BC \parallel AD$): $AB=CD=10$ см.
За умовою: $\angle ACD=60^{\circ}$ (кут між діагоналлю та бічною стороною), $\angle CAD=40^{\circ}$ (кут між діагоналлю та основою).
Сума кутів трикутника $ACD$ дорівнює $180^{\circ}$:
$\angle D=180^{\circ}-(60^{\circ}+40^{\circ})=80^{\circ}$.
За теоремою синусів у $\bigtriangleup ACD$:
$\frac{AC}{\sin 80^{\circ}}=\frac{AD}{\sin 60^{\circ}}=\frac{CD}{\sin 40^{\circ}}$
Звідси:
$AD=\frac{CD\cdot\sin 60^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=$
$=\frac{10\cdot0{,}866}{0{,}6428}\approx13{,}5\text{ (см)}$
$AC=\frac{CD\cdot\sin 80^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=$
$=\frac{10\cdot0{,}9848}{0{,}6428}\approx15{,}3\text{ (см)}$
Оскільки трапеція рівнобічна, $\angle CDA=\angle DAB=80^{\circ}$.
$\angle BAC=\angle DAB-\angle CAD=$
$=80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$.
У $\bigtriangleup ABC$: $\angle BCA=\angle CAD=40^{\circ}$ (як внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$).
Оскільки $\angle BAC=\angle BCA=40^{\circ}$, то $\bigtriangleup ABC$ — рівнобедрений, отже $BC=AB=10$ см.
Відповідь:
$BC=10$ см, $AD\approx13{,}5$ см, $AC\approx15{,}3$ см.