№ 38 ВПР 3 Геометрія = № 38 ВПТ 5 Математика
Розв’яжіть трикутник $ABC$, якщо:
1) $BC=10$ см, $AC=15$ см, $CM$ — медіана, $CM=11$ см;
2) $BC=12$ см, $AH$ — висота, $AH=6$ см, $AM$ — медіана, $AM=10$ см.
Розв’язок:
1)
За теоремою про медіану трикутника:
$(2CM)^{2}+AB^{2}=2(BC^{2}+AC^{2})$
$(2\cdot11)^{2}+AB^{2}=2(10^{2}+15^{2})$
$484+AB^{2}=2(100+225)$
$AB^{2}=650-484=166$
$AB=\sqrt{166}\approx12{,}88$ (см)
За теоремою косинусів:
$\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=$
$=\frac{166+225-100}{2\cdot\sqrt{166}\cdot15}=\frac{291}{30\sqrt{166}}\approx0{,}7529$;
$\angle A\approx41^{\circ}10'$;
$\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{166+100-225}{2\cdot\sqrt{166}\cdot10}=\frac{41}{20\sqrt{166}}\approx0{,}1591$;
$\angle B\approx80^{\circ}50'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(41^{\circ}10'+80^{\circ}50')=58^{\circ}$.
2)
У $\bigtriangleup AMH$ ($\angle H=90^{\circ}$):
$MH=\sqrt{AM^{2}-AH^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ (см)
Оскільки $M$ — середина $BC$, то $BM=MC=\frac{12}{2}=6$ (см).
Точка $H$ лежить на продовженні сторони $BC$, тому $BH=MH-BM=8-6=2$ (см).
У $\bigtriangleup ABH$ ($\angle H=90^{\circ}$):
$AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=$
$=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{40}=$
$=2\sqrt{10}\approx6{,}32$ (см)
У $\bigtriangleup ACH$ ($\angle H=90^{\circ}$):
$CH=CM+MH=6+8=14$ (см)
$AC=\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=$
$=\sqrt{6^{2}+14^{2}}=\sqrt{36+196}=$
$=\sqrt{232}=2\sqrt{58}\approx15{,}23$ (см)
Знайдемо кути:
$\sin\angle C=\frac{AH}{AC}=\frac{6}{2\sqrt{58}}\approx0{,}3939$
$\angle C\approx23^{\circ}12'$
$\sin\angle ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{6}{2\sqrt{10}}\approx0{,}9487$
$\angle ABH\approx71^{\circ}34'$
$\angle ABC=180^{\circ}-71^{\circ}34'=108^{\circ}26'$
$\angle A=180^{\circ}-(108^{\circ}26'+23^{\circ}12')=48^{\circ}22'$.
Відповідь:
1) $AB=\sqrt{166}\approx12{,}88$ см, $\angle A\approx41^{\circ}10'$, $\angle B\approx80^{\circ}50'$, $\angle C\approx58^{\circ}$;
2) $AB=2\sqrt{10}\approx6{,}32$ см, $AC=2\sqrt{58}\approx15{,}23$ см, $\angle A\approx48^{\circ}22'$, $\angle B\approx108^{\circ}26'$, $\angle C\approx23^{\circ}12'$.