№ 49 ВПР 3 Геометрія = № 49 ВПТ 5 Математика
Одна зі сторін трикутника вдвічі більша за іншу, а кут між цими сторонами дорівнює $60^{\circ}$. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо його площа — $8\sqrt{3}$ см$^{2}$.
Розв’язок:
Нехай одна сторона трикутника $x$ см, тоді друга сторона $2x$ см.
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot2x\cdot sin60^{\circ}$
За умовою $S_{\bigtriangleup ABC}=8\sqrt{3}$ см$^{2}$.
$\frac{1}{2}\cdot x\cdot2x\cdot sin60^{\circ}=8\sqrt{3}$
$x^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$
$x^{2}=16$
$x=4$ або $x=-4$ (не є розв’язком задачі, оскільки довжина сторони має бути додатною).
Отже, одна сторона $4$ см, друга сторона $8$ см, кут між ними $60^{\circ}$.
За теоремою косинусів, третя сторона $A$:
$A=\sqrt{4^{2}+8^{2}-2\cdot4\cdot8\cdot cos60^{\circ}}=$
$=\sqrt{16+64-2\cdot4\cdot8\cdot\frac{1}{2}}=$
$=\sqrt{80-32}=$
$=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ (см)}$
Відповідь:
$4\sqrt{3}$ см.