№ 55 ВПР 3 Геометрія = № 55 ВПТ 5 Математика
У трикутник зі сторонами $12$ см, $50$ см і $58$ см вписано коло, а центр кола сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі трьох отриманих трикутників.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AB=50$ см; $AC=58$ см; $BC=12$ см. $O$ — центр вписаного кола.
$p=\frac{50+58+12}{2}=60\text{ (см)}$;
$S=\sqrt{60(60-50)(60-12)(60-58)}=$
$=\sqrt{60\cdot10\cdot48\cdot2}=$
$=\sqrt{60\cdot10\cdot10\cdot6\cdot8\cdot2}=$
$=\sqrt{10^{2}\cdot6^{2}\cdot16}=$
$=10\cdot6\cdot4=240\text{ (см}^{2}\text{)}$.
$r=\frac{S}{p}=\frac{240}{60}=4\text{ (см)}$ — радіус вписаного кола.
$OM=ON=OK=r=4\text{ (см)}$; $OM \perp BC$; $ON \perp AC$; $OK \perp AB$.
$S_{\bigtriangleup AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OK=$
$=\frac{1}{2}\cdot50\cdot4=100\text{ (см}^{2}\text{)}$;
$S_{\bigtriangleup AOC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot ON=$
$=\frac{1}{2}\cdot58\cdot4=116\text{ (см}^{2}\text{)}$;
$S_{\bigtriangleup BOC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OM=$
$=\frac{1}{2}\cdot12\cdot4=24\text{ (см}^{2}\text{)}$.
Відповідь:
$100$ см$^{2}$, $116$ см$^{2}$, $24$ см$^{2}$.