№ 56 ВПР 3 Геометрія = № 56 ВПТ 5 Математика
Діагоналі паралелограма дорівнюють $40$ см і $74$ см, а одна з його сторін — $51$ см. Знайдіть площу паралелограма.
Розв’язок:
У паралелограма $ABCD$: $AD=51$ см; $AC=74$ см; $BD=40$ см. Діагоналі точкою перетину $O$ діляться навпіл: $AO=\frac{1}{2}AC=37$ см, $OD=\frac{1}{2}BD=20$ см.
Спосіб 1 (формула Герона).
Проведемо $OK \perp AD$ і $CM \perp AD$. Тоді $S_{\bigtriangleup AOD}=\frac{1}{2}AD\cdot OK$, $S_{\bigtriangleup ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot CM$. Оскільки $O$ — середина $AC$, то $CM=2\cdot OK$, звідси $S_{\bigtriangleup ACD}=2S_{\bigtriangleup AOD}$, тобто $S_{\bigtriangleup AOD}=S_{\bigtriangleup COD}$. Отже, діагоналі ділять паралелограм на чотири рівновеликі трикутники, і $S_{ABCD}=4S_{\bigtriangleup AOD}$.
Площу $\bigtriangleup AOD$ зі сторонами $20$ см, $37$ см і $51$ см знайдемо за формулою Герона ($p=\frac{20+37+51}{2}=54$ см):
$S_{\bigtriangleup AOD}=\sqrt{54\cdot(54-51)(54-37)(54-20)}=$
$=\sqrt{54\cdot3\cdot17\cdot34}=$
$=\sqrt{9\cdot36\cdot17^{2}}=$
$=3\cdot6\cdot17=306\text{ (см}^{2}\text{)}$.
$S_{ABCD}=4\cdot306=1224\text{ (см}^{2}\text{)}.$
Спосіб 2 (через кут між діагоналями).
У трикутнику $AOD$ ($AO=37$ см, $OD=20$ см, $AD=51$ см) за теоремою косинусів:
$\cos\angle AOD=\frac{AO^{2}+OD^{2}-AD^{2}}{2\cdot AO\cdot OD}=$
$=\frac{37^{2}+20^{2}-51^{2}}{2\cdot37\cdot20}=$
$=\frac{1369+400-2601}{1480}=-\frac{104}{185}.$
Тоді $\sin\angle AOD=\sqrt{1-\left( \frac{104}{185} \right)^{2}}=\frac{153}{185}$.
$S_{\bigtriangleup AOD}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OD\cdot\sin\angle AOD=$
$=\frac{1}{2}\cdot37\cdot20\cdot\frac{153}{185}=306\text{ (см}^{2}\text{)}.$
Діагоналі ділять паралелограм на чотири рівновеликі трикутники, тому $S_{ABCD}=4\cdot306=1224\text{ (см}^{2}\text{)}$.
Відповідь:
$1224$ см$^{2}$.