№ 9 ЗПЗ 3 Геометрія = № 9 ЗПЗ 5 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $6\sqrt{2}$ см і $2$ см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як $\sqrt{2}\ :1$. Скільки розв’язків має задача?
Розв’язок:
Нехай сторони трикутника $a=6\sqrt{2}$, $b=2$, а третя сторона $x$.
За умовою $\frac{x}{R}=\sqrt{2}$, отже $x=R\sqrt{2}$.
За теоремою синусів:
$\frac{x}{\sin\alpha}=2R$
де $\alpha$ — кут, протилежний стороні $x$.
Підставимо $x=R\sqrt{2}$:
$\frac{R\sqrt{2}}{\sin\alpha}=2R$
$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Отже, $\alpha=45^{\circ}$ або $\alpha=135^{\circ}$.
За теоремою косинусів:
$x^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha$
$x^{2}=(6\sqrt{2})^{2}+2^{2}-2\cdot6\sqrt{2}\cdot2\cdot cos\alpha$
$x^{2}=72+4-24\sqrt{2}\cos\alpha=$
$=76-24\sqrt{2}\cos\alpha$
1) Якщо $\alpha=45^{\circ}$, то $\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$x^{2}=76-24\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=$
$=76-24=52$
$x=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{ (см)}$
2) Якщо $\alpha=135^{\circ}$, то $\cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$x^{2}=76-24\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=$
$=76+24=100$
$x=\sqrt{100}=10\text{ (см)}$
Обидва значення задовольняють нерівність трикутника.
Відповідь:
$2\sqrt{13}$ см або $10$ см; задача має $2$ розв’язки.