№ 15.32 Геометрія = № 29.32 Математика
Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює $12$ см, а радіус вписаного в нього кола — $6\sqrt{2}$ см. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.
Розв’язок:
Нехай $AB$ — сторона правильного многокутника. $OA=R=12$; $OK \perp AB$; $OK=r=6\sqrt{2}$ (см).
З $\bigtriangleup AOK$:
$AK=\sqrt{OA^{2}-OK^{2}}=$
$=\sqrt{12^{2}-(6\sqrt{2})^{2}}=$
$=\sqrt{144-72}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$
$AK=\frac{1}{2}AB$.
Тоді $AB=2\cdot6\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ (см).
$\cos\angle AOK=\frac{OK}{OA}=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, тоді
$\angle AOK=45^{\circ}$, тоді $\angle AOB=45^{\circ}\cdot2=90^{\circ}$.
$360^{\circ}\ :90^{\circ}=4$ сторони має многокутник.
Відповідь:
$4$ сторони, сторона дорівнює $12\sqrt{2}$ см.