№ 15.33 Геометрія = № 29.33 Математика
Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює $2\sqrt{3}$ см, а радіус кола, описаного навколо нього, — $4$ см. Знайдіть кількість вершин многокутника та його сторону.
Розв’язок:
Нехай $AB$ — сторона многокутника;
$O$ — центр кола, $OA=R=4$; $OK \perp AB$;
$OK=2\sqrt{3}$ см.
$\bigtriangleup AOK$ — прямокутний:
$cos\angle AOK=\frac{OK}{OA}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\angle AOK=30^{\circ}$.
Тоді $\angle AOB=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}$.
$\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}}=6\text{ сторін має многокутник.}$
Тоді $AB=a_{6}=R=4$ (см) — сторона многокутника.