№ 15.34 Геометрія = № 29.34 Математика
Сторона правильного восьмикутника дорівнює $4\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см. Знайдіть його площу.
Розв’язок:
Нехай $AB$ — сторона правильного восьмикутника. Навколо восьмикутника, так як він правильний, можна описати коло. $O$ — центр кола. $OA=OB=R$;
$AB=4\sqrt{2-\sqrt{2}}$; $\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$.
За теоремою косинусів з $\bigtriangleup AOB$:
$R^{2}+R^{2}-2R\cdot R\cdot\cos 45^{\circ}=$
$=(4\sqrt{2-\sqrt{2}})^{2}$;
$2R^{2}-R^{2}\sqrt{2}=16(2-\sqrt{2})$;
$R^{2}(2-\sqrt{2})=16(2-\sqrt{2})$;
$R^{2}=16$;
$R=4$ або $R=-4$ — не є розв’язком задачі.
$S_{\bigtriangleup AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot sin45^{\circ}=$
$=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{ (см}^{2}\text{)}$.
$S_{\text{8-кутника}}=8\cdot S_{\bigtriangleup AOB}=$
$=8\cdot4\sqrt{2}=32\sqrt{2}\text{ (см}^{2}\text{)}$.