№ 15.35 Геометрія = № 29.35 Математика
Сторона правильного дванадцятикутника дорівнює $3\sqrt{2-\sqrt{3}}$ см. Знайдіть його площу.
Розв’язок:
Навколо правильного дванадцятикутника можна описати коло. Нехай $AB$ — сторона даного дванадцятикутника, $O$ — центр описаного кола. $OA=OB=R$;
$\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$.
З $\bigtriangleup AOB$ за теоремою косинусів:
$R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cdot\cos 30^{\circ}=$
$=(3\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2}$;
$2R^{2}-2R^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=9(2-\sqrt{3})$;
$R^{2}(2-\sqrt{3})=9(2-\sqrt{3})$;
$R^{2}=9$;
$R=3$ або $R=-3$ — не є розв’язком задачі.
$S_{\bigtriangleup AOB}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot\sin 30^{\circ}=$
$=\frac{1}{2}\cdot3\cdot3\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{4}\text{ (см}^{2}\text{)}$;
$S_{12\text{-кутника}}=12\cdot\frac{9}{4}=27\text{ (см}^{2}\text{)}$.
Відповідь:
$27$ см$^{2}$.