№ 15.36 Геометрія = № 29.36 Математика
Кути квадрата, сторона якого дорівнює $(2+\sqrt{2})$ см, зрізали так, що утворився правильний восьмикутник. Знайдіть його сторону.
Розв’язок:
$ABCD$ — квадрат, лінії $KM,PZ,\ldots$ відрізають кути у квадрата так, що $KM=MP=PZ=\ldots$
Нехай $MP=x$, тоді:
$AM=AK=PB=$
$=\frac{AB-x}{2}=\frac{2+\sqrt{2}-x}{2}$
(оскільки відрізки, що відсікають кути, рівні, а сума довжин відрізків на стороні квадрата дорівнює довжині сторони квадрата).
$\bigtriangleup KAM$ — прямокутний, рівнобедрений,
$AK=AM=\frac{2+\sqrt{2}-x}{2}$
$KM=x$, $\angle AMK=\angle AKM=45^{\circ}$.
$AM=KM\cdot\cos 45^{\circ}$ або
$\frac{2+\sqrt{2}-x}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$
$x\sqrt{2}=2+\sqrt{2}-x$
$x\sqrt{2}+x=2+\sqrt{2}$
$x(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$
$x=\sqrt{2}$
Отже, сторона восьмикутника $\sqrt{2}$ см.