№ 15.40 Геометрія = № 29.40 Математика
Периметр трапеції дорівнює $108$ см, а точка дотику вписаного в неї кола ділить бічну сторону на відрізки $4$ см і $16$ см завдовжки. Знайдіть площу трапеції.
Розв’язок:
$ABCD$ — трапеція. $K$ — точка дотику бічної сторони $AB$ до кола. $BK=4$ см, $AK=16$ см.
Якщо в трапецію можна вписати коло, то сума протилежних сторін рівна:
$AB+CD=BC+AD=$
$=\frac{P}{2}=\frac{108}{2}=54$ (см).
$AB=4+16=20$ (см).
За властивістю відрізків дотичних, проведених до кола з однієї точки:
$BK=BN=4$ см;
$AK=AM=16$ см.
Побудуємо $BP \perp AD$. Оскільки $BNMP$ — прямокутник, то $PM=BN=4$ см.
Тоді $AP=AM-PM=16-4=12$ (см).
$\bigtriangleup ABP$ — прямокутний. За теоремою Піфагора:
$BP=\sqrt{AB^{2}-AP^{2}}=$
$=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=$
$=\sqrt{(20-12)(20+12)}=$
$=\sqrt{8\cdot32}=\sqrt{256}=16$ (см).
Отже, висота трапеції $H=BP=16$ см.
Площа трапеції:
$S_{\text{трап}}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot H=$
$=\frac{1}{2}\cdot54\cdot16=432$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$432$ см$^{2}$.