№ 16.28 Геометрія = № 30.28 Математика
За даною хордою $a$ знайдіть довжину її дуги, якщо градусна міра дуги дорівнює:
1) $60^{\circ}$;
2) $90^{\circ}$;
3) $120^{\circ}$.
Розв’язок:
1)
$AB$ — дана хорда, $AB=a$, $\angle AOB=60^{\circ}$.
Тоді $\bigtriangleup AOB$ — рівносторонній, $OA=R=a$.
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot\alpha=$
$=\frac{\pi a}{180^{\circ}}\cdot60^{\circ}=\frac{\pi a}{3}$.
2)
$AB=a$; $\angle AOB=90^{\circ}$; $\angle OAB=45^{\circ}$.
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot\alpha=$
$=\frac{\pi\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}{180^{\circ}}\cdot90^{\circ}=\frac{\pi a\sqrt{2}}{4}$.
3)
$AB$ — хорда, $OA=R$; $AB=a$; $\angle AOB=120^{\circ}$.
Тоді $\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{R}{\sin 30^{\circ}}=\frac{a}{\sin 120^{\circ}}$;
$R=\frac{a\sin 30^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}=\frac{a\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$.
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot\alpha=$
$=\frac{\pi\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}}{180^{\circ}}\cdot120^{\circ}=$
$=\frac{\pi a\cdot120^{\circ}}{180^{\circ}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\pi a\cdot2}{3\cdot\sqrt{3}}=$
$=\frac{\pi a\cdot2\sqrt{3}}{3\cdot3}=\frac{2\pi a\sqrt{3}}{9}$.
Відповідь:
1) $\frac{\pi a}{3}$; 2) $\frac{\pi a\sqrt{2}}{4}$; 3) $\frac{2\pi a\sqrt{3}}{9}$.