№ 16.29 Геометрія = № 30.29 Математика
За даною довжиною дуги, що дорівнює $2\pi$ см, знайдіть її хорду, якщо градусна міра дуги:
1) $60^{\circ}$;
2) $90^{\circ}$;
3) $120^{\circ}$.
Розв’язок:
1)
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot60^{\circ}=2\pi$
$\frac{\pi R}{3}=2\pi \Longrightarrow R=6\text{ (см)}$
$\bigtriangleup OAB$ — рівносторонній (бо $OA=OB=R$ і $\angle AOB=60^{\circ}$), тому $AB=6$ см.
2)
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot90^{\circ}=2\pi$
$\frac{\pi R}{2}=2\pi \Longrightarrow R=4\text{ (см)}$
$\bigtriangleup OAB$ — прямокутний (бо $\angle AOB=90^{\circ}$), тому за теоремою Піфагора:
$AB=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=$
$=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ (см)}$
3)
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot120^{\circ}=2\pi$
$\frac{2\pi R}{3}=2\pi \Longrightarrow R=3\text{ (см)}$
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup OAB$:
$AB=\sqrt{3^{2}+3^{2}-2\cdot3\cdot3\cdot cos120^{\circ}}=$
$=\sqrt{18-18\cdot\left(-\frac{1}{2} \right)}=$
$=\sqrt{18+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ (см)}$