№ 16.31 Геометрія = № 30.31 Математика
У колі проведено дві паралельні хорди, довжини яких $12$ см і $16$ см. Відстань між хордами становить $14$ см. Знайдіть довжину кола.
Розв’язок:
$AB$ і $CD$ — хорди, $AB \parallel CD$, $AB=12$ см, $CD=16$ см, $MN \perp AB$, $MN=14$ см.
Проведемо через центр $O$ пряму, перпендикулярну до $AB$. Оскільки $AB \parallel CD$, вона перпендикулярна й до $CD$; нехай вона перетинає хорди в точках $M$ і $N$. Тоді $MN$ — відстань між хордами, $MN=14$ см. Перпендикуляр, проведений з центра кола до хорди, ділить її навпіл, тому $M$ і $N$ — середини хорд $AB$ і $CD$.
$OM \perp AB$, $M$ — середина $AB$, $MB=6$ см.
Аналогічно: $N$ — середина $CD$, $ND=8$ см.
Центр $O$ лежить між хордами: якби обидві хорди лежали по один бік від центра, то довша хорда $CD$ була б ближчою до центра, $OM=ON+14$, і з рівності $6^{2}+(ON+14)^{2}=8^{2}+ON^{2}$ дістали б $ON=-6<0$, що неможливо. Нехай $OM=x$ см, тоді $ON=(14-x)$ см.
У $\bigtriangleup OMB$:
$OB^{2}=6^{2}+x^{2}$
У $\bigtriangleup OND$:
$OD^{2}=8^{2}+(14-x)^{2}$
$OB^{2}=OD^{2}$, бо $OB=OD=R$, тоді:
$6^{2}+x^{2}=$
$=8^{2}+(14-x)^{2}$
$36+x^{2}=64+196-28x+x^{2}$
$28x=224$
$x=224\ :28$
$x=8$
Тоді $OB^{2}=6^{2}+8^{2}=100$, $OB=R=10$ см.
$C=2\pi R=2\cdot\pi\cdot10=20\pi$ см.
Відповідь:
$20\pi$ см.