№ 16.32 Геометрія = № 30.32 Математика
Три кола з радіусами $2$ см, $3$ см і $27$ см попарно дотикаються одне до одного. Знайдіть довжину кола, що проходить через центри цих кіл.
Розв’язок:
Три кола дотикаються зовнішнім дотиком, тому центри кіл утворюють трикутник зі сторонами:
$2+3=5$ (см)
$3+27=30$ (см)
$2+27=29$ (см)
Радіус $R$ кола, описаного навколо трикутника, обчислюється за формулою:
$R=\frac{abc}{4S}$
Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. Півпериметр $p$:
$p=\frac{5+30+29}{2}=\frac{64}{2}=32\text{ (см)}$
Площа $S$:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$
$=\sqrt{32(32-5)(32-30)(32-29)}=$
$=\sqrt{32\cdot27\cdot2\cdot3}=$
$=\sqrt{5184}=72\text{ (см}^{2}\text{)}$
Знайдемо радіус $R$:
$R=\frac{5\cdot30\cdot29}{4\cdot72}=\frac{4350}{288}=\frac{725}{48}\text{ (см)}$
Довжина кола $C$:
$C=2\pi R=2\pi\cdot\frac{725}{48}=\frac{725}{24}\pi\text{ (см)}$
Відповідь:
$\frac{725}{24}\pi$ см.