№ 17.31 Геометрія = № 31.31 Математика
Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює $6$ см, а центральний кут, що відповідає сегменту, дорівнює:
1) $45^{\circ}$;
2) $90^{\circ}$;
3) $210^{\circ}$.
Розв’язок:
Площа кругового сегмента обчислюється за формулою $S_{\text{сег}}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}\cdot\alpha-S_{\bigtriangleup}$, де $S_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}R^{2}\sin\alpha$.
1) $S_{\text{сег}}=\frac{\pi\cdot6^{2}}{360^{\circ}}\cdot45^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot sin45^{\circ}=$
$=\frac{36\pi}{8}-3\cdot6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=$
$=4{,}5\pi-9\sqrt{2}\text{ (см}^{2}\text{)}$.
2) $S_{\text{сег}}=\frac{\pi\cdot6^{2}}{360^{\circ}}\cdot90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot6\cdot6=$
$=9\pi-18\text{ (см}^{2}\text{)}$.
3) Центральний кут $210^{\circ}$ більший за $180^{\circ}$, тому площу трикутника $AOB$ додаємо до площі сектора. Площу трикутника обчислюємо через синус кута $360^{\circ}-210^{\circ}=150^{\circ}$:
$S_{\text{сег}}=\frac{\pi\cdot6^{2}}{360^{\circ}}\cdot210^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin(360^{\circ}-210^{\circ})=$
$=21\pi+18\sin 150^{\circ}=$
$=21\pi+18\cdot\frac{1}{2}=$
$=21\pi+9\text{ (см}^{2}\text{)}$.
Відповідь:
1) $(4{,}5\pi-9\sqrt{2})$ см$^{2}$;
2) $(9\pi-18)$ см$^{2}$;
3) $(21\pi+9)$ см$^{2}$.