№ 17.32 Геометрія = № 31.32 Математика
Кінці хорди $6\sqrt{3}$ см завдовжки ділять коло у відношенні $1\ :2$. Знайдіть площі двох утворених сегментів.
Розв’язок:
Хорда $AB$ ділить коло на дві дуги $◡AB$ і $◡ACB$. Їх довжини відносяться як їх градусні міри. Тому $\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{1+2}\cdot1=120^{\circ}$.
Центральний кут, що відповідає $◡ACB$, дорівнює $360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$. $OA=OB=R$.
З $\bigtriangleup AOB$ за теоремою косинусів:
$R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos 120^{\circ}=(6\sqrt{3})^{2}$
$3R^{2}=108$
$R^{2}=36$, тоді $R=6$ (см).
Площа сегмента, якому відповідає центральний кут $120^{\circ}$, дорівнює різниці площі сектора та площі трикутника $AOB$:
$S_{1}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}\cdot120^{\circ}-S_{\bigtriangleup AOB}=$
$=\frac{\pi\cdot6^{2}}{3}-\frac{1}{2}\cdot6^{2}\sin 120^{\circ}=$
$=12\pi-18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=$
$=12\pi-9\sqrt{3}\text{ (см}^{2}\text{)}$.
Площа круга:
$S_{\text{круга}}=\pi R^{2}=\pi\cdot6^{2}=36\pi\text{ (см}^{2}\text{)}$.
Площа сегмента, якому відповідає центральний кут $240^{\circ}$, дорівнює:
$S_{2}=S_{\text{круга}}-S_{1}=$
$=36\pi-\left( 12\pi-9\sqrt{3} \right)=$
$=24\pi+9\sqrt{3}\text{ (см}^{2}\text{)}$.
Відповідь:
$12\pi-9\sqrt{3}$ см$^{2}$, $24\pi+9\sqrt{3}$ см$^{2}$.