№ 17.33 Геометрія = № 31.33 Математика
Кінці хорди $12$ см завдовжки ділять коло у відношенні $1\ :5$. Знайдіть площі двох утворених сегментів.
Розв’язок:
$\frac{360^{\circ}}{1+5}\cdot1=60^{\circ}$ та $\frac{360^{\circ}}{1+5}\cdot5=300^{\circ}$ — центральні кути, що відповідають дугам, на які ділять коло дана хорда.
У $\bigtriangleup AOB$: за теоремою косинусів $R^{2}+R^{2}-2R\cdot R\cdot\cos 60^{\circ}=12^{2}$.
$2R^{2}-R^{2}=144$
$R^{2}=144$
$R=12$ (см).
$S_{\text{сег.1}}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}\cdot60^{\circ}-S_{\bigtriangleup AOB}=$
$=\frac{\pi\cdot12^{2}}{6}-\frac{1}{2}\cdot12\cdot12\cdot\sin 60^{\circ}=$
$=24\pi-36\sqrt{3}$ (см$^{2}$) — площа меншого сегмента.
$S_{\text{кр.}}=\pi R^{2}=\pi\cdot12^{2}=144\pi$ (см$^{2}$).
$S_{\text{сег.2}}=S_{\text{кр.}}-S_{\text{сег.1}}=$
$=144\pi-\left( 24\pi-36\sqrt{3} \right)=$
$=120\pi+36\sqrt{3}$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$24\pi-36\sqrt{3}$ см$^{2}$, $120\pi+36\sqrt{3}$ см$^{2}$.