№ 17.35 Геометрія = № 31.35 Математика
У рівнобічну трапецію вписано круг, площа якого дорівнює $48\pi$ см$^{2}$. Знайдіть площу трапеції, якщо її гострий кут дорівнює $60^{\circ}$.
Розв’язок:
$S_{кр}=\frac{\pi d^{2}}{4}=48\pi$ (за умовою), тоді
$d^{2}=4\cdot48=192$
$d=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$
$d=H$ — висота трапеції. Отже, $H=8\sqrt{3}$.
У $\bigtriangleup ABK$:
$AB=\frac{BK}{\sin\angle A}=$
$=\frac{8\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=16$ (см).
Оскільки трапеція рівнобічна, то $CD=AB=16$ см.
Так як у трапецію вписано коло, то суми протилежних сторін рівні:
$BC+AD=CD+AB=16+16=32$ (см).
Площа трапеції:
$S_{тр}=\frac{BC+AD}{2}\cdot H=\frac{32}{2}\cdot8\sqrt{3}=$
$=16\cdot8\sqrt{3}=128\sqrt{3}$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$128\sqrt{3}$ см$^{2}$.