№ 17.36 Геометрія = № 31.36 Математика
Знайдіть площі зафарбованих фігур на малюнках 17.8–17.10, якщо сторона квадрата дорівнює $a$.
Розв’язок:
Мал. 17.8:
Площа зафарбованої фігури дорівнює площі квадрата мінус площі чотирьох чвертей круга радіуса $\frac{a}{2}$.
$S=a^{2}-4\cdot\left( \frac{1}{4}\pi\left( \frac{a}{2} \right)^{2} \right)=$
$=a^{2}-\frac{\pi a^{2}}{4}=\frac{4a^{2}-\pi a^{2}}{4}=$
$=\frac{a^{2}(4-\pi)}{4}$
Мал. 17.9:
Незафарбована частина — це спільна частина двох чвертей круга радіуса $a$ з центрами в протилежних вершинах квадрата. Зафарбована фігура складається з двох рівних частин, кожна з яких — квадрат без чверті круга радіуса $a$.
$S=2\cdot\left( a^{2}-\frac{1}{4}\pi a^{2} \right)=$
$=\frac{2\left( 4a^{2}-\pi a^{2} \right)}{4}=\frac{4a^{2}-\pi a^{2}}{2}=$
$=\frac{a^{2}(4-\pi)}{2}$
Мал. 17.10:
Пелюстки квітки утворені півкругами, побудованими на сторонах квадрата. Середні лінії ділять квадрат на $4$ квадрати зі стороною $\frac{a}{2}$, і в кожному з них незафарбована частина така сама, як зафарбована фігура на мал. 17.9. Тому незафарбовані частини одного малого квадрата мають площу $\frac{\left( \frac{a}{2} \right)^{2}(4-\pi)}{2}=\frac{a^{2}(4-\pi)}{8}$, а всіх чотирьох — $4\cdot\frac{a^{2}(4-\pi)}{8}=\frac{a^{2}(4-\pi)}{2}$. Площа квітки дорівнює площі квадрата мінус ці частини:
$S=a^{2}-\frac{a^{2}(4-\pi)}{2}=$
$=\frac{2a^{2}-4a^{2}+\pi a^{2}}{2}=$
$=\frac{a^{2}(\pi-2)}{2}$
Відповідь:
$\frac{a^{2}(4-\pi)}{4}$; $\frac{a^{2}(4-\pi)}{2}$; $\frac{a^{2}(\pi-2)}{2}$.