№ 11 ДСР 4 Геометрія = № 11 ДСР 7 Математика
За довжиною дуги, що дорівнює $4\pi$ см, знайдіть її хорду, якщо дуга містить $120^{\circ}$.
А. $6$ см
Б. $12$ см
В. $6\sqrt{2}$ см
Г. $6\sqrt{3}$ см
Розв’язок:
Довжина дуги $l$ обчислюється за формулою:
$l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot120^{\circ}=4\pi$
$\frac{2}{3}R=4$
$R=6$ (см).
Нехай $AB$ — хорда, що стягує дугу $120^{\circ}$. У трикутнику $AOB$ сторони $OA=OB=R=6$ см, а кут $\angle AOB=120^{\circ}$.
За теоремою косинусів:
$AB=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2R\cdot R\cdot cos120^{\circ}}=$
$=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cdot(-0{,}5)}=$
$=\sqrt{R^{2}+R^{2}+R^{2}}=$
$=\sqrt{3R^{2}}=R\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ (см).
Відповідь:
Г. $6\sqrt{3}$ см.