№ 10 ВПР 4 Геометрія = № 10 ВПТ 7 Математика
Радіус кола, вписаного у правильний шестикутник, дорівнює $4\sqrt{3}$ см. Знайдіть меншу діагональ шестикутника.
Розв’язок:
Нехай $a$ — сторона правильного шестикутника. Радіус вписаного кола $r$ пов’язаний зі стороною формулою:
$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
За умовою $r=4\sqrt{3}$, тому:
$4\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$a=8\text{ (см)}$
Менша діагональ, наприклад $AC$, є стороною трикутника $ABC$, у якого $AB=BC=a$, $\angle ABC=120^{\circ}$. За теоремою косинусів:
$AC^{2}=a^{2}+a^{2}-2a\cdot a\cdot\cos 120^{\circ}=2a^{2}-2a^{2}\cdot\left(-\frac{1}{2} \right)=3a^{2}$
Тому менша діагональ $d=AC=a\sqrt{3}$:
$d=8\sqrt{3}\text{ (см)}$
Відповідь:
$8\sqrt{3}$ см.