№ 12 ВПР 4 Геометрія = № 12 ВПТ 7 Математика
Знайдіть радіуси вписаного у правильний шестикутник та описаного навколо нього кіл, сума яких дорівнює $8\sqrt{3}$ см.
Розв’язок:
Для правильного шестикутника зі стороною $a_{6}$:
$R_{6}=a_{6}$
$r_{6}=\frac{a_{6}\sqrt{3}}{2}$
За умовою сума радіусів:
$R_{6}+r_{6}=8\sqrt{3}$
$a_{6}+\frac{a_{6}\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$
$a_{6}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$
$a_{6}=\frac{16\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=$
$=\frac{16\sqrt{3}\left( 2-\sqrt{3} \right)}{\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)}=$
$=32\sqrt{3}-16\cdot3=$
$=32\sqrt{3}-48\text{ (см)}$
Отже, радіус описаного кола:
$R_{6}=32\sqrt{3}-48\text{ (см)}$
Радіус вписаного кола:
$r_{6}=\frac{\left( 32\sqrt{3}-48 \right)\sqrt{3}}{2}=$
$=\frac{32\cdot3-48\sqrt{3}}{2}=$
$=\frac{96-48\sqrt{3}}{2}=$
$=48-24\sqrt{3}\text{ (см)}$
Відповідь:
$32\sqrt{3}-48$ см, $48-24\sqrt{3}$ см.