№ 14 ВПР 4 Геометрія = № 14 ВПТ 7 Математика
Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є для одного з них стороною вписаного квадрата, а для другого — стороною правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо радіус меншого з них дорівнює $r$ (розгляньте два можливих випадки розміщення кіл).
Розв’язок:
$AB$ — спільна хорда. Нехай $O_{1}$ — центр кола, в яке вписано квадрат, а $O_{2}$ — центр кола, в яке вписано шестикутник.
1 випадок. Центри кіл лежать по різні боки від хорди $AB$.
Нехай радіус кола з квадратом дорівнює $R_{1}$. Тоді сторона квадрата $AB=R_{1}\sqrt{2}$.
Відстань від центра $O_{1}$ до хорди $AB$ (апофема квадрата) дорівнює:
$O_{1}K=\frac{AB}{2}=\frac{R_{1}\sqrt{2}}{2}$.
Радіус кола з шестикутником дорівнює $R_{2}$. Сторона шестикутника $AB=R_{2}$.
Відстань від центра $O_{2}$ до хорди $AB$ (апофема шестикутника) дорівнює:
$O_{2}K=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{R_{2}\sqrt{3}}{2}$.
Оскільки $r$ — радіус меншого кола, то $r=\min(R_{1},R_{2})$.
Якщо $R_{1}=r$, то $O_{1}K=\frac{r\sqrt{2}}{2}$, $AB=r\sqrt{2}$, $R_{2}=r\sqrt{2}$, $O_{2}K=\frac{r\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{r\sqrt{6}}{2}$.
Відстань між центрами:
$O_{1}O_{2}=O_{1}K+O_{2}K=$
$=\frac{r\sqrt{2}}{2}+\frac{r\sqrt{6}}{2}=\frac{r(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}$.
2 випадок. Центри кіл лежать по один бік від хорди $AB$.
Аналогічно, відстань між центрами дорівнює різниці апофем:
$O_{1}O_{2}=\left| O_{2}K-O_{1}K \right|=$
$=\left| \frac{r\sqrt{6}}{2}-\frac{r\sqrt{2}}{2} \right|=\frac{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.
Відповідь:
$\frac{r(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$ або $\frac{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.