№ 15 ВПР 4 Геометрія = № 15 ВПТ 7 Математика
Знайдіть відношення площ квадрата, правильного трикутника і правильного шестикутника, вписаних в одне й те саме коло.
Розв’язок:
Нехай $R$ — радіус кола. Сторони вписаних правильних многокутників:
$a_{3}=R\sqrt{3}$, $a_{4}=R\sqrt{2}$, $a_{6}=R$.
Площа правильного трикутника:
$S_{3}=\frac{a_{3}^{2}\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{(R\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}$
Площа квадрата:
$S_{4}=a_{4}^{2}=(R\sqrt{2})^{2}=2R^{2}$
Площа правильного шестикутника:
$S_{6}=6\cdot\frac{a_{6}^{2}\sqrt{3}}{4}=$
$=6\cdot\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{2}$
Знайдемо відношення $S_{4}\ :S_{3}\ :S_{6}$:
$S_{4}\ :S_{3}\ :S_{6}=$
$=2R^{2}\ :\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}\ :\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{2}=$
$=2\ :\frac{3\sqrt{3}}{4}\ :\frac{3\sqrt{3}}{2}=$
$=8\ :3\sqrt{3}\ :6\sqrt{3}$
Відповідь:
$8\ :3\sqrt{3}\ :6\sqrt{3}$