№ 16 ВПР 4 Геометрія = № 16 ВПТ 7 Математика
У правильний трикутник зі стороною, що дорівнює $a$, вписано коло, у яке вписано правильний шестикутник. Знайдіть площу шестикутника.
Розв’язок:
Сторона правильного трикутника $a_{3}=a$.
Радіус вписаного кола в правильний трикутник:
$r_{3}=\frac{a_{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}$
Оскільки шестикутник вписаний у це коло, то радіус кола $r_{3}$ дорівнює радіусу описаного кола навколо шестикутника $R_{6}$, який у свою чергу дорівнює стороні правильного шестикутника $a_{6}$:
$a_{6}=R_{6}=r_{3}=\frac{a}{2\sqrt{3}}$
Площа правильного шестикутника складається з площ шести рівносторонніх трикутників зі стороною $a_{6}$:
$S=6\cdot\frac{a_{6}^{2}\sqrt{3}}{4}=$
$=6\cdot\left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=$
$=6\cdot\frac{a^{2}}{4\cdot3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=$
$=6\cdot\frac{a^{2}}{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}$
Відповідь:
$\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}$