№ 28 ВПР 4 Геометрія = № 28 ВПТ 7 Математика
Довжина сторони правильного шестикутника дорівнює $a$. У шестикутник вписано коло. Знайдіть довжину дуги кола між точками дотику до сусідніх сторін шестикутника.
Розв’язок:
$a$ — сторона шестикутника.
Радіус вписаного кола $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Центральний кут, що спирається на сторону правильного шестикутника, $\angle BOC=60^{\circ}$.
Оскільки радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до сторони, то $OK$ — бісектриса кута $\angle BOC$.
$\angle KOC=\frac{1}{2}\angle BOC=30^{\circ}$.
Аналогічно, $OF$ — бісектриса кута $AOB$, тому $\angle FOB=30^{\circ}$; крім того, $\angle BOK=\angle KOC=30^{\circ}$. Отже, $\angle FOK=\angle FOB+\angle BOK=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$.
Довжина дуги $l_{FK}$ обчислюється за формулою $l=\frac{\pi r\alpha}{180^{\circ}}$, де $\alpha$ — градусна міра центрального кута:
$l_{FK}=\frac{\pi\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot60^{\circ}}{180^{\circ}}=$
$=\frac{\pi\cdot a\sqrt{3}\cdot60}{2\cdot180}=$
$=\frac{\pi a\sqrt{3}}{6}$
Відповідь:
$\frac{\pi a\sqrt{3}}{6}$.