№ 32 ВПР 4 Геометрія = № 32 ВПТ 7 Математика
За даною хордою $a$ знайдіть довжину її дуги, градусна міра якої:
1) $30^{\circ}$;
2) $150^{\circ}$.
Розв’язок:
1) За теоремою косинусів для трикутника, утвореного двома радіусами та хордою:
$R^{2}+R^{2}-2R\cdot R\cdot cos30^{\circ}=a^{2}$
$2R^{2}-2R^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=a^{2}$
$R^{2}(2-\sqrt{3})=a^{2}$
$R=\frac{a}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}$
Довжина дуги $l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot30^{\circ}=\frac{\pi R}{6}$:
$l=\frac{\pi a}{6\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{\pi a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{6}$
2) За теоремою косинусів:
$R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos 150^{\circ}=a^{2}$
$2R^{2}-2R^{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=a^{2}$
$R^{2}(2+\sqrt{3})=a^{2}$
$R=\frac{a}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$
Довжина дуги $l=\frac{\pi R}{180^{\circ}}\cdot150^{\circ}=\frac{5\pi R}{6}$:
$l=\frac{5\pi a}{6\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{5\pi a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{6}$
Відповідь:
1) $\frac{\pi a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{6}$;
2) $\frac{5\pi a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{6}$.