№ 47 ВПР 4 Геометрія = № 47 ВПТ 7 Математика
У круговий сектор, дуга якого містить $60^{\circ}$, вписано коло радіуса $r$ см, як показано на малюнку 1 (коло дотикається до радіусів і дуги, що обмежують сектор). Знайдіть площу сектора.
Розв’язок:
$O_{1}K \perp OK$; $O_{1}B \perp OB$; $O_{1}K=O_{1}B=r$ (як радіуси одного кола).
Точка $O_{1}$ лежить на бісектрисі $\angle KOB$, тоді $\angle KOO_{1}=30^{\circ}$.
У $\bigtriangleup OKO_{1}$:
$OO_{1}=\frac{O_{1}K}{\sin 30^{\circ}}=\frac{r}{1/2}=2r$
Тоді радіус сектора $R=OM=OO_{1}+O_{1}M=$
$=2r+r=3r$.
Площа сектора:
$S_{\text{сек}}=\frac{\pi\cdot(OM)^{2}}{360^{\circ}}\cdot60^{\circ}=$
$=\frac{\pi\cdot(3r)^{2}}{6}=$
$=\frac{9\pi r^{2}}{6}=\frac{3\pi r^{2}}{2}\text{ (см}^{2}\text{)}.$
Відповідь:
$\frac{3\pi r^{2}}{2}$ см$^{2}$.