№ 48 ВПР 4 Геометрія = № 48 ВПТ 7 Математика
Навколо круга радіуса $r$ розташовано чотири однакові круги, кожен з яких дотикається до даного круга, і кожні два сусідніх круги дотикаються між собою (мал. 2). Знайдіть площу одного із цих кругів.
Розв’язок:
Нехай $R$ — радіус чотирьох однакових кіл. Тоді $r$ — радіус центрального кола.
$ABCD$ — квадрат, утворений центрами чотирьох однакових кіл.
$\bigtriangleup BOC$ — прямокутний; катети дорівнюють $(r+R)$, гіпотенуза дорівнює $(R+R)=2R$.
За теоремою Піфагора:
$(r+R)^{2}+(r+R)^{2}=(2R)^{2}$
$(r+R)^{2}\cdot2=(2R)^{2}$
$(r+R)^{2}=2R^{2}$
$r+R=R\sqrt{2}$
$R(\sqrt{2}-1)=r$
$R=\frac{r}{\sqrt{2}-1}=$
$=\frac{r(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=r(\sqrt{2}+1)$
Площа одного з цих кругів:
$S_{\text{кр}}=\pi R^{2}=\pi(r(\sqrt{2}+1))^{2}=$
$=\pi r^{2}\left( 2+2\sqrt{2}+1 \right)=$
$=\pi r^{2}(3+2\sqrt{2})$
Відповідь:
$\pi r^{2}(3+2\sqrt{2})$.