№ 10 ЗПЗ 4 Геометрія = № 10 ЗПЗ 7 Математика
Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює $3\sqrt{2}$ см, а радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, — $6$ см. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.
Розв’язок:
Для правильного многокутника відношення радіуса вписаного кола $r$ до радіуса описаного кола $R$ пов’язане з центральним кутом $\alpha$, що спирається на сторону, співвідношенням:
$\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{R}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Звідси:
$\frac{\alpha}{2}=45^{\circ}$
$\alpha=90^{\circ}$
Кількість сторін $n$ многокутника:
$n=\frac{360^{\circ}}{90^{\circ}}=4$
Сторона многокутника $AB$:
$AB=2R\sin\frac{\alpha}{2}=2\cdot6\cdot\sin 45^{\circ}=$
$=12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\text{ (см)}$
Відповідь:
$4$ сторони, $6\sqrt{2}$ см.