№ 18.20 Геометрія = № 39.20 Математика
У правильному п’ятикутнику $ABCDE$ діагоналі $AD$ і $BE$ перетинаються в точці $O$. Знайдіть кут $DOE$.
Розв’язок:
Сума кутів правильного п’ятикутника дорівнює $180^{\circ}\cdot(5-2)=540^{\circ}$.
Кожен внутрішній кут п’ятикутника дорівнює:
$\frac{540^{\circ}}{5}=108^{\circ}$
Розглянемо $\bigtriangleup AED$: він рівнобедрений ($AE=ED$), тому:
$\angle EAD=\angle EDA=$
$=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$
Аналогічно для $\bigtriangleup ABE$ ($AB=AE$):
$\angle ABE=\angle AEB=36^{\circ}$
У $\bigtriangleup AEO$:
$\angle AOE=180^{\circ}-(\angle EAO+\angle AEO)=$
$=180^{\circ}-(36^{\circ}+36^{\circ})=108^{\circ}$
Кут $\angle DOE$ — зовнішній кут трикутника $AEO$ при вершині $O$, тому він дорівнює сумі двох не суміжних з ним внутрішніх кутів:
$\angle DOE=\angle EAO+\angle AEO=$
$=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}$
Відповідь:
$72^{\circ}$.