№ 19.17 Геометрія = № 40.17 Математика
Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій $x+2y-3=0$ відносно:
1) початку координат;
2) точки $O(-1;-2)$.
Розв’язок:
Дана пряма $x+2y-3=0$ може бути записана як $y=-0{,}5x+1{,}5$. Оскільки симетрична пряма паралельна даній, вона має вигляд $y=-0{,}5x+b$, або $x+2y-2b=0$.
1) Нехай точка $(x_{0};y_{0})$ належить даній прямій. Тоді симетрична їй точка відносно початку координат $(0;0)$ має координати $(-x_{0};-y_{0})$.
Підставимо ці координати у рівняння даної прямої:
$(-x_{0})+2(-y_{0})-3=0$
$-x_{0}-2y_{0}-3=0$
$x_{0}+2y_{0}+3=0$
Це рівняння шуканої прямої. Отже, $x+2y+3=0$.
2) Нехай точка $(x_{0};y_{0})$ належить даній прямій. Симетрична їй точка $(x';y')$ відносно точки $O(-1;-2)$ задовольняє умови:
$\frac{x_{0}+x'}{2}=-1 \Rightarrow$
$x_{0}=-2-x'$
$\frac{y_{0}+y'}{2}=-2 \Rightarrow$
$y_{0}=-4-y'$
Підставимо ці вирази у рівняння даної прямої $x_{0}+2y_{0}-3=0$:
$(-2-x')+2(-4-y')-3=0$
$-2-x'-8-2y'-3=0$
$-x'-2y'-13=0$
$x'+2y'+13=0$
Отже, рівняння шуканої прямої $x+2y+13=0$.
Відповідь:
1) $x+2y+3=0$;
2) $x+2y+13=0$.