№ 19.19 Геометрія = № 40.19 Математика
Знайдіть кути рівнобічної трапеції, бічна сторона якої перпендикулярна до діагоналі й дорівнює меншій основі.
Розв’язок:
$ABCD$ — трапеція; $AB=CD=BC$; $AB \perp BD$.
Оскільки $BC=CD$, то $\bigtriangleup BCD$ — рівнобедрений.
Нехай $\angle CBD=\alpha$. Тоді $\angle CDB=\alpha$ (як кути при основі рівнобедреного трикутника).
Оскільки $AB \perp BD$, то $\angle ABD=90^{\circ}$.
Кут трапеції $\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=90^{\circ}+\alpha$.
Оскільки трапеція рівнобічна, то $\angle BCD=\angle ABC=90^{\circ}+\alpha$. У $\bigtriangleup BCD$ сума кутів дорівнює $180^{\circ}$:
$\angle CBD+\angle BCD+\angle CDB=180^{\circ}$
$\alpha+(90^{\circ}+\alpha)+\alpha=180^{\circ}$
$3\alpha+90^{\circ}=180^{\circ}$
$3\alpha=90^{\circ}$
$\alpha=30^{\circ}$
Отже, кути трапеції:
$\angle ADB=\angle CBD=\alpha$ (внутрішні різносторонні кути при $BC \parallel AD$ і січній $BD$), тому $\angle D=\angle ADB+\angle CDB=2\alpha=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}$; $\angle A=\angle D=60^{\circ}$ (кути при основі рівнобічної трапеції).
$\angle B=\angle C=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$.
Відповідь:
$60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$.