№ 19.20 Геометрія = № 40.20 Математика
Площа прямокутного трикутника в 4 рази менша від площі квадрата, який побудовано на гіпотенузі. Знайдіть гострі кути трикутника.
Розв’язок:
$a$, $b$ — катети прямокутного трикутника, тоді гіпотенуза $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
$S_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}ab$
$S_{\text{кв}}=(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}=a^{2}+b^{2}$
За умовою:
$4\cdot S_{\bigtriangleup}=S_{\text{кв}}$
$4\cdot\frac{1}{2}ab=a^{2}+b^{2}$
$2ab=a^{2}+b^{2}$
$a^{2}+b^{2}-2ab=0$
$(a-b)^{2}=0$
$a=b$
Оскільки катети рівні, то $\bigtriangleup ABC$ — рівнобедрений. У рівнобедреному прямокутному трикутнику гострі кути рівні: $\alpha=\beta$.
Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ}$:
$\alpha+\beta=90^{\circ}$
$2\alpha=90^{\circ}$
$\alpha=45^{\circ}$
Отже, $\alpha=45^{\circ}$, $\beta=45^{\circ}$.
Відповідь:
$45^{\circ}$, $45^{\circ}$.