№ 21.14 Геометрія = № 42.14 Математика
1) Точка $A(m;-3)$ переходить у точку $A'(n;4)$ при повороті навколо початку координат на $90^{\circ}$ за годинниковою стрілкою. Знайдіть $m$ і $n$.
2) Обчисліть добуток $mn$, відтак дізнаєтеся, скільки діб провів на орбіті перший космонавт незалежної України Леонід Каденюк.
Розв’язок:
При повороті на $90^{\circ}$ за годинниковою стрілкою точка $(x;y)$ переходить у точку $(y;-x)$.
Обґрунтуємо це. Нехай $P(x;y)$, а $P_{1}(x;0)$ — основа перпендикуляра, опущеного з точки $P$ на вісь $Ox$. При повороті на $90^{\circ}$ за годинниковою стрілкою навколо початку координат додатна піввісь $Ox$ переходить у від’ємну піввісь $Oy$, а додатна піввісь $Oy$ — у додатну піввісь $Ox$. Поворот зберігає відстані й кути, тому точка $P_{1}$ переходить у точку $P_{1}'(0;-x)$, а відрізок $P_{1}P$, перпендикулярний до осі $Ox$, — у рівний йому відрізок $P_{1}'P'$, перпендикулярний до осі $Oy$. Тому $P'(y;-x)$.
Точка $A(m;-3)$ переходить у точку $A'(-3;-m)$.
За умовою $A'(n;4)$, отже:
$n=-3$
$-m=4 \Longrightarrow m=-4$
Добуток $mn$:
$mn=(-4)\cdot(-3)=12$
Відповідь:
$m=-4$, $n=-3$; добуток $mn=12$ (Леонід Каденюк провів на орбіті 12 діб).