№ 21.15 Геометрія = № 42.15 Математика
1) Точка $B(4;m)$ переходить у точку $B'(-3;n)$ при повороті навколо початку координат на $90^{\circ}$ проти годинникової стрілки. Знайдіть $m$ і $n$.
2) Обчисліть суму $m+n$, відтак дізнаєтеся, скільки українок-науковиць були в 2023 році включені до світового рейтингу «100 успішних жінок у науці».
Розв’язок:
При повороті на $90^{\circ}$ проти годинникової стрілки точка $(x;y)$ переходить у точку $(-y;x)$.
Обґрунтуємо це. Нехай $P(x;y)$, а $P_{1}(x;0)$ — основа перпендикуляра, опущеного з точки $P$ на вісь $Ox$. При повороті на $90^{\circ}$ проти годинникової стрілки навколо початку координат додатна піввісь $Ox$ переходить у додатну піввісь $Oy$, а додатна піввісь $Oy$ — у від’ємну піввісь $Ox$. Поворот зберігає відстані й кути, тому точка $P_{1}$ переходить у точку $P_{1}'(0;x)$, а відрізок $P_{1}P$, перпендикулярний до осі $Ox$, — у рівний йому відрізок $P_{1}'P'$, перпендикулярний до осі $Oy$. Тому $P'(-y;x)$.
Отже, точка $B(4;m)$ переходить у точку $B'(-m;4)$.
За умовою $B'(-3;n)$, тому:
$-m=-3 \Rightarrow m=3$
$n=4$
Сума $m+n=3+4=7$.
Відповідь:
$m=3$, $n=4$; сума дорівнює $7$.