№ 22.19 Геометрія = № 43.19 Математика
Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює $30^{\circ}$, а бічна сторона — $4$ см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони.
Розв’язок:
Знайдемо кут при вершині $B$:
$\angle B=180^{\circ}-(30^{\circ}+30^{\circ})=120^{\circ}$
Знайдемо основу $AC$ за теоремою косинусів:
$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos120^{\circ}}=$
$=\sqrt{4^{2}+4^{2}-2\cdot4\cdot4\cdot(-0{,}5)}=$
$=\sqrt{16+16+16}=$
$=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ (см)}$
Знайдемо медіану $AM$, проведену до сторони $BC$, за формулою медіани:
$4AM^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2}$
Підставимо значення $AB=4$, $AC=4\sqrt{3}$, $BC=4$:
$4AM^{2}=2\cdot4^{2}+2\cdot(4\sqrt{3})^{2}-4^{2}=$
$=2\cdot16+2\cdot48-16=$
$=32+96-16=112$
$AM^{2}=\frac{112}{4}=28$
$AM=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{ (см)}$
Відповідь:
$2\sqrt{7}$ см.