№ 23.24 Геометрія = № 44.24 Математика
Доведіть, що перетворення подібності переводить прямокутник у прямокутник, сторони якого пропорційні сторонам даного.
Розв’язок:
$ABCD$ — даний прямокутник. При перетворенні подібності $ABCD$ перейде в чотирикутник $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Оскільки перетворення подібності зберігає кути, то $\angle A_{1}=\angle A$, $\angle B_{1}=\angle B$, $\angle C_{1}=\angle C$, $\angle D_{1}=\angle D$. Так як $\angle A=\angle C=90^{\circ}$, $\angle B=\angle D=90^{\circ}$.
Отже, $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — прямокутник.
$A_{1}B_{1}=k\cdot AB$, $B_{1}C_{1}=k\cdot BC$, $C_{1}D_{1}=k\cdot CD$, $A_{1}D_{1}=k\cdot AD$.
Тоді:
$\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=k$, $\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=k$, $\frac{C_{1}D_{1}}{CD}=k$, $\frac{A_{1}D_{1}}{AD}=k$.
Отже,
$\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{C_{1}D_{1}}{CD}=\frac{A_{1}D_{1}}{AD}$
Тобто прямокутник переводиться у прямокутник, сторони якого пропорційні даним.