№ 23.30 Геометрія = № 44.30 Математика
Чи подібні два ромби, якщо в одного з них менша діагональ дорівнює стороні, а в другого — більша діагональ у $\sqrt{3}$ разів більша за сторону?
Розв’язок:
Два ромби з відповідно рівними кутами подібні.
Знайдемо кути ромба, у якого менша діагональ дорівнює стороні.
$AB=AD=BD$. Звідси $\bigtriangleup ABD$ — правильний, тому $\angle A=60^{\circ}$, тоді $\angle B=\angle D=120^{\circ}$; $\angle C=60^{\circ}$.
Якщо у ромба більша діагональ у $\sqrt{3}$ разів більша за сторону, то $A_{1}B_{1}=a$, $B_{1}C_{1}=a$, $A_{1}C_{1}=a\sqrt{3}$.
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$:
$\cos\angle B_{1}=\frac{A_{1}B_{1}^{2}+B_{1}C_{1}^{2}-A_{1}C_{1}^{2}}{2\cdot A_{1}B_{1}\cdot B_{1}C_{1}}=$
$=\frac{a^{2}+a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}{2a^{2}}=$
$=\frac{2a^{2}-3a^{2}}{2a^{2}}=-\frac{1}{2}$
Тоді $\angle B_{1}=120^{\circ}$; $\angle D_{1}=120^{\circ}$; $\angle A_{1}=\angle C_{1}=60^{\circ}$.
Оскільки кути обох ромбів рівні ($60^{\circ}$ та $120^{\circ}$), то ці ромби подібні.
Відповідь:
Так, подібні.