№ 23.31 Геометрія = № 44.31 Математика
Доведіть, що перетворення подібності переводить коло в коло.
Розв’язок:
Дано коло з центром $O$ і радіусом $r$. $A$ — довільна точка кола.
Перетворення подібності з коефіцієнтом $k$ переведе точку $O$ в точку $O_{1}$, а точку $A$ — в точку $A_{1}$. При цьому $O_{1}A_{1}=k\cdot OA$.
Оскільки для будь-якої точки $A$ кола виконується рівність $OA=r$, то для відповідної точки $A_{1}$ маємо:
$O_{1}A_{1}=k\cdot r$.
Оскільки $k$ та $r$ — сталі величини, то відстань $O_{1}A_{1}$ є сталою для всіх точок $A_{1}$. Це означає, що всі точки $A_{1}$ знаходяться на однаковій відстані $k\cdot r$ від точки $O_{1}$.
Отже, отримана фігура — коло з центром $O_{1}$ і радіусом $k\cdot r$.
Що й треба було довести.