№ 23.38 Геометрія = № 44.38 Математика
Знайдіть площу квадрата, якщо сума радіусів його вписаного й описаного кіл дорівнює $7$ см.
Розв’язок:
Радіус вписаного кола $r=\frac{a}{2}$, радіус описаного кола $R=\frac{a}{\sqrt{2}}$.
За умовою:
$\frac{a}{2}+\frac{a}{\sqrt{2}}=7$
$a\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \right)=7$
$a\left( \frac{1+\sqrt{2}}{2} \right)=7$
$a=\frac{14}{1+\sqrt{2}}=\frac{14\left( \sqrt{2}-1 \right)}{\left( \sqrt{2}+1 \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)}=$
$=14(\sqrt{2}-1)$
Площа квадрата $S=a^{2}$:
$S=(14(\sqrt{2}-1))^{2}=196\cdot(\sqrt{2}-1)^{2}=$
$=196\cdot\left( 2-2\sqrt{2}+1 \right)=$
$=196\cdot\left( 3-2\sqrt{2} \right)=$
$=588-392\sqrt{2}\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$588-392\sqrt{2}$ см$^{2}$.