№ 24.18 Геометрія = № 45.18 Математика
Висота трикутника $ABC$, що виходить з вершини $C$, дорівнює $6\sqrt{2}$ см. На якій відстані від точки $C$ треба провести пряму, паралельну стороні $AB$, щоб ця пряма розділила трикутник на дві рівновеликі частини?
Розв’язок:
Нехай на висоті $CK$ ($CK=6\sqrt{2}$ см) вибрали точку $D$ і провели $MN \parallel AB$ так, що $S_{\bigtriangleup CMN}=S_{AMNB}$.
Тоді $S_{\bigtriangleup CMN}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ABC}$, тобто $\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup CMN}}=2$.
Оскільки $\bigtriangleup CMN \sim \bigtriangleup CAB$ (за двома кутами, бо $MN \parallel AB$), то відношення їхніх площ дорівнює квадрату відношення їхніх відповідних висот:
$\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup CMN}}=\left( \frac{CK}{CD} \right)^{2}$
Звідси:
$\frac{CK^{2}}{CD^{2}}=2$
$CD^{2}=\frac{CK^{2}}{2}=\frac{(6\sqrt{2})^{2}}{2}=$
$=\frac{36\cdot2}{2}=36$
$CD=6\text{ (см)}$
Відповідь:
$6$ см.