№ 27 ВПР 5 Геометрія = № 27 ВПТ 9 Математика
Точки $A$ і $A'$, $B$ і $B'$ попарно симетричні відносно прямої $l$ (мал. 1). Доведіть, що навколо чотирикутника $ABB'A'$ можна описати коло.
Розв’язок:
$A$ симетрична $A'$, $B$ симетрична $B'$, тоді $AB=A'B'$; $AA' \perp l$; $BB' \perp l$, звідси $AA' \parallel BB'$.
Отже, $ABB'A'$ — рівнобічна трапеція.
Коло можна описати навколо чотирикутника, у якого суми протилежних кутів дорівнюють $180^{\circ}$.
У рівнобічній трапеції $ABB'A'$ кути при кожній основі рівні: $\angle A'B'B=\angle ABB'$.
Оскільки $AA' \parallel BB'$, то сума внутрішніх односторонніх кутів $\angle AA'B'+\angle A'B'B=180^{\circ}$.
Замінивши $\angle A'B'B$ на $\angle ABB'$, отримаємо $\angle AA'B'+\angle ABB'=180^{\circ}$.
Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює $360^{\circ}$, то сума двох інших протилежних кутів $\angle A'AB+\angle AB'B$ також дорівнює $180^{\circ}$.
Отже, навколо трапеції $ABB'A'$ можна описати коло.
Що й треба було довести.