№ 28 ВПР 5 Геометрія = № 28 ВПТ 9 Математика
Доведіть, що фігура, яка має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, має і центр симетрії.
Розв’язок:
Нехай фігура $F$ має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії $m$ і $n$, які розбивають її на чотири частини $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$, $F_{4}$. Приймемо $m$ за вісь абсцис, $n$ — за вісь ординат; $O$ — точка їх перетину.
Нехай $K(a;b)$ — довільна точка фігури $F$. Оскільки $n$ — вісь симетрії, точка $K_{1}(-a;b)$, симетрична $K$ відносно $n$, також належить фігурі $F$.
Оскільки $m$ — вісь симетрії, точка $K_{2}(-a;-b)$, симетрична $K_{1}$ відносно $m$, також належить фігурі $F$.
Але точка $K_{2}(-a;-b)$ симетрична точці $K(a;b)$ відносно початку координат $O$. Отже, разом з кожною своєю точкою фігура $F$ містить і симетричну їй відносно $O$ точку.
Отже, точка $O$ — перетин осей $m$ і $n$ — є центром симетрії фігури $F$.