№ 55 ВПР 5 Геометрія = № 55 ВПТ 9 Математика
Рамка для фотографій — прямокутної форми (прямокутник не є квадратом). Чи подібні зовнішній і внутрішній прямокутники цієї рамки, якщо ширина рамки скрізь однакова?
Розв’язок:
[МАЛЮНОК: прямокутна рамка, де зовнішній прямокутник має сторони a та b, а внутрішній прямокутник має сторони a - 2x та b - 2x, де x — ширина рамки]
Нехай зовнішня рамка має розміри $a$ і $b$, ширина рамки $x$, тоді внутрішня рамка має розміри $a-2x$ та $b-2x$.
Знайдемо відношення відповідних сторін. Якщо вони рівні, прямокутники подібні:
$\frac{a}{a-2x}=\frac{b}{b-2x}$
Перемножимо навхрест:
$a(b-2x)=b(a-2x)$
$ab-2ax=ab-2bx$
$ab-2ax-ab+2bx=0$
$-2ax+2bx=0$
$2x(b-a)=0$
Це рівняння справедливе тільки за умови, що $a=b$ (тоді прямокутник є квадратом), або $x=0$.
Але за умовою прямокутник не є квадратом ($a\neq b$) і ширина рамки $x>0$.
Тому відношення сторін нерівні. Отже, зовнішній і внутрішній прямокутники не подібні.