№ 55 ВПР 5 Геометрія = № 55 ВПТ 9 Математика
Рамка для фотографій — прямокутної форми (прямокутник не є квадратом). Чи подібні зовнішній і внутрішній прямокутники цієї рамки, якщо ширина рамки скрізь однакова?
Розв’язок:
Нехай зовнішній прямокутник має сторони $a$ і $b$, причому $a>b$, а ширина рамки дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді внутрішній прямокутник має сторони $a-2x$ і $b-2x$, причому $a-2x>b-2x$.
У подібних прямокутників більша сторона одного відповідає більшій стороні другого. Якщо прямокутники подібні, то відношення відповідних сторін рівні:
$\frac{a}{a-2x}=\frac{b}{b-2x}$
Перемножимо навхрест:
$a(b-2x)=b(a-2x)$
$ab-2ax=ab-2bx$
$ab-2ax-ab+2bx=0$
$-2ax+2bx=0$
$2x(b-a)=0$
Це рівняння справедливе тільки за умови, що $a=b$ (тоді прямокутник є квадратом), або $x=0$.
Але за умовою прямокутник не є квадратом ($a\neq b$) і ширина рамки $x>0$.
Тому відношення сторін нерівні. Отже, зовнішній і внутрішній прямокутники не подібні.
Відповідь:
Ні, не подібні.